変域を求める問題
また新しい言葉がでてきましたね。
「変域」ってなんでしょうか？
この良く分からない響きに惑わされて、苦手意識を持っている場合がとても多いです！
変域とは、値の範囲のことです。
ｘやｙがどこからどこまでの値になるか、ということです。
実際に問題を見ながら解説していきます。
例題
y=2x+1 について、x の変域が−1≦x≦3のとき、y の変域を求めなさい。
記号や符号ばっかりで意味が分かりにくいので、ちょっとかみ砕いて確認していきましょう。
まず、y=2x+1 という一次関数のグラフがあります。
このグラフの中の −1≦ｘ≦3 つまり、ｘの値が-1の時から3までの場合ということです。
ｘの範囲というのは、グラフでいうところの横の範囲ですね。
ｘが-1から3までの範囲にある、縦の軸がｙの変域ということです。
x=3 のときのｙ座標は、ｙ=2ｘ+1 に代入すると
y=2×3+1
y=7
x=−1のときのy 座標は、y=2x+1に代入して
y=2×(−1)+1
y=−1
グラフから、yの変域（縦の範囲）は－１から７だということが分かります。
よって、答えは−1≦y≦7 ということになります。
このように、変域の問題というのは
グラフを切り取ったときの横の範囲、縦の範囲について考えているだけなんですね。
ただ、毎回グラフを書いて答えを求めていくのは面倒です。
だから、実際に問題を解くときには
xの変域である－1と3を式に代入して求めることができるy 座標をそれぞれ見て
（y座標の小さい方）≦ y ≦（y 座標の大きい方）
というように表記してあげれば、簡単に答えを求めることができます。
例題2
y=−3x+2 について、x の変域が−2≦x≦1 のとき、y の変域を求めなさい。
x=−2 のとき
y=−3×(−2)+2
y=6+2
y=8
x=1 のとき
y=−3×1+2
y=−3+2
y=−1
よって、答えは
−1≦y≦8
ただし、ちゃんとグラフを切り取るイメージは持っておきましょう！
そうすることで、後で挑戦する応用問題が解きやすくなります。
変域の書き方
変域を求める問題は、上で解説したように答えを求めることができます。
ですが、不等号の向きや書き方に疑問を持った方もおられるのではないでしょうか。
実際に、不等号の向きで間違えてしまう人も多いので
不等号の表し方について、ちょっと振り返っておきましょう。
小≦大
不等号はこのように数の大小を表すときに使います。
口が開いている方が大きい方を表していますね。
ここに文字が絡んでくると分かりにくくなってしまうのですが
ちょっと下の数直線を見てください。
このようなxの範囲を表したいとき、x は２より右側に位置しています。
つまり、xは2よりも大きい範囲ということです。
なので、不等号で範囲を表すときには
2≦x
というようにx の方に口が開いている不等号を使って表します。
x≧2 という表記でもいいのですが、右側に大きい数を持ってきた方がぱっと見で分かりやすいのと、
右側に大きい数字が書かれることが多いので見間違わないようにこちらの表記で覚えましょう。
では、次の数直線を見てください。
xは2より右側で、4よりも左側に位置していることが分かります。
つまり
2≦x であり、x≦4 ということです。
これらをくっつけて表すと、
2≦x≦4
このように表すことができます。
2≧x≧4 と表してしまう人がたまにいますが
これだと、xは2より小さくて4より大きい！？
という謎の表記になってしまいます。
ケアレスミスポイントなので、注意しましょう！
変域から式を求める
それでは、一次関数の変域応用問題に挑戦してみましょう。
傾きが正で、xの変域が4≦x≦8 のとき、y の変域が−3≦y≦1 となるような一次関数の式を求めなさい。
このように変域から式を求めるような問題では、グラフをイメージすることが大切です。
傾きが正だから、右上がりのグラフだということがわかります。
そして、横の範囲を4から8で切り取ると
縦の範囲は－3から1になるということなので
グラフのイメージはこのようになります。
よって、グラフは(4,−3) と(8,1)を通るということが読み取れます。
ここから直線の式を求めていきましょう。
y=ax+bにそれぞれの座標を代入して
−3=4a+b
1=8a+b
これらを連立方程式で解いてやると
a=1,b=−7 となるので
答えは、y=x+7 となります。
変域から式を求めるような問題では
切り取られたグラフをイメージして、座標を読み取りましょう。
座標が分かってしまえば、あとは今まで通りですね！
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